Пойа Д. Как решать задачу

Математик и педагог Дьёрдь Пойа, или Джордж Полиа (1887-1985), называл математику школой мышления и говорил, что хороший учитель должен помочь ученику развить вкус к самостоятельным логическим рассуждениям. Сам Пойа хороших учителей математики в свои школьные годы не видел, так что увлёкся этой наукой значительно позже. В гимназии его любимыми предметами были биология и литература. В Будапештском университете он начал изучать юриспруденцию, которая показалась ему очень скучной. Он занялся языками, в том числе латинским, и, наконец, философией. Один мудрый преподаватель посоветовал студенту в целях лучшего понимания философии дополнительно взять курс физики и математики. Потом Пойа шутил, что оказался недостаточно способен к физике и чересчур способен к философии, а математика находится где-то между ними.

В 1925 году, в период работы в Высшей технической школе в Цюрихе, Д.Пойа в соавторстве с Г.Сеге опубликовал книгу «Задачи и теоремы из анализа» и в 1934 году совместно с Г.Харди и Дж.Литлвудом — «Неравенства». Книгу «Как решать задачу» Пойа начинал писать по-немецки в Европе, ещё до войны. Когда он перебрался в США, там с огромным успехом была издана английская версия этой работы («How to solve it», 1945). Последовали переводы на многие другие языки (на русский — в 1959-м). Для учителей настала новая эра — преподавание математики после Пойа.

Здесь нужно заметить, что Пойа равно адресовал свою книгу как вдумчивому учителю, так и вдумчивому ученику. Примеры в ней взяты из области элементарной математики. По замыслу автора, книга также должна представлять интерес «для любого лица, желающего понять пути и средства, приводящие к новым идеям и новым открытиям» (1).

Некоторые рекомендации Дьёрдя Пойа:

«Глупо отвечать на вопрос, который вы не поняли. Невесело работать для цели, к которой вы не стремитесь. Такие глупые и невесёлые вещи часто случаются как в школе, так и вне её, однако учителю следует стараться предотвращать их в своём классе. Ученик должен понять задачу. Но не только понять; он должен хотеть решить её. Если ученику не хватает понимания задачи или интереса к ней, это не всегда его вина. Задача должна быть умело выбрана, она должна быть не слишком трудной и не слишком лёгкой, быть естественной и интересной, причём некоторое время нужно уделять для её естественной и интересной интерпретации» (2).

«Путь от понимания постановки задачи до представления себе плана решения может быть долгим и извилистым. И действительно, главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно. Или она может возникнуть вдруг, в один миг, после, казалось бы, безуспешных попыток и продолжительных сомнений. Тогда мы назовем её «блестящей идеей».

Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путём неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею» (3).

«Даже очень хорошие учащиеся, получив ответ и тщательно изложив ход решения, закрывают тетрадь и переходят к другим делам.

Поступая так, они лишают себя того важного, что может дать последний фазис работы. Оглядываясь назад на полученное решение, вновь рассматривая и анализируя результат и путь, которым они к нему пришли, они могут сделать свои знания более глубокими и прочными и закрепить навыки, необходимые для решения задач. Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам. Всегда остаётся что-нибудь, над чем можно размышлять; обладая достаточным упорством и проницательностью, мы можем усовершенствовать любое решение или, во всяком случае, мы всегда можем глубже осмыслить решение» (4).

«Будущий математик, как и всякий человек, учится при помощи практики и подражания. Ему следует искать подходящий пример для подражания. Он должен следить за работой хорошего учителя, соревноваться со способными друзьями. К тому же, что, пожалуй, важнее всего, ему не следует ограничивать себя лишь стабильными учебниками; он должен интересоваться книгами хороших авторов и найти себе такого, которому сможет в соответствии со своими природными наклонностями подражать. Его должно радовать всё, что кажется ему просто, или поучительно, или красиво. Всё это он должен искать. Ему следует решать задачи, выбирая те, которые соответствуют его интересам, размышлять над их решением и изобретать новые задачи. Таким путём и всеми другими путями он должен стараться сделать своё первое важное открытие — ему следует узнать для себя, что ему нравится и что не нравится, раскрыть свои вкусы, свои личные интересы» (5).

«Обучение искусству решать задачи есть воспитание воли. Решая не слишком лёгкую для себя задачу, ученик учится быть настойчивым, когда нет успеха, учится ценить скромные достижения, терпеливо искать идею решения и сосредоточиваться на ней всем своим «я», когда эта идея возникает» (6).

«Я обращаюсь ко всем, кто обучается математике, элементарной или высшей, и заинтересован во владении ею, и говорю: “Конечно, будем учиться доказывать, но будем также учиться догадываться”» (7).

Дьёрдь Пойа высоко ставил эвристику как искусство находить решение и как метод обучения, способствующий развитию находчивости. В своё время он сетовал, что эвристика не в моде, и надеялся, что её ждёт большое будущее. В предисловии к книге «Как решать задачу», написанном в Стэнфордском университете в 1944 году, Пойа отмечает:

«При изучении методов решения задач перед нами вырисовывается второе лицо математики. Да, у математики два лица: это и строгая наука Евклида и одновременно нечто другое.

Математика, излагаемая в стиле Евклида, представляется нам систематической, дедуктивной наукой. Но математика в процессе создания является экспериментальной, индуктивной наукой. Оба аспекта математики столь же стары, как сама математическая наука. Однако второй аспект в одном отношении является новым: математику «in statu nascendi», — в процессе рождения, — никогда с этой стороны не показывали ни ученику, ни самому учителю, ни широкой публике» (8).

Главным образом эвристике посвящены и две другие книги Д.Пойа: «Математика и правдоподобные рассуждения» (1954) и «Математическое открытие» (1965). Они тоже переведены на русский язык (9), а в качестве читателей предполагают тех, кто глубоко изучает математику. Университетский профессор Пойа уделял много внимания повышению квалификации преподавателей математики разных ступеней обучения, от начальной до высшей. Собственную преподавательскую деятельность он продолжал даже в девяностолетнем возрасте: в 1978 году читал курс комбинаторики в Стэнфорде!

В нашей стране книга «Как решать задачу» издавалась с подзаголовком «пособие для учителей», хотя более всего она важна непосредственно для учащихся. Сейчас её помнят и ценят люди науки и люди, серьёзно увлечённые педагогикой. Для того чтобы эта ничуть не устаревшая книга оказала влияние на новое поколение учителей и учеников, необходимо переиздать её как можно скорее.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Пойа Д. Как решать задачу. — М., 1961. — С. 6.

2. Там же. — С. 16-17.

3. Там же. — С. 18.

4. Там же. — С. 24.

5. Там же. — С. 54.

6. Там же. — С. 105.

7. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М., 1957. — С. 10.

8. Пойа Д. Как решать задачу. — М., 1961. — С. 7.

9. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е. — М., 1975;

Пойа Д. Математическое открытие. — Изд. 2-е. — М., 1976.

Библиография

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей / Пер. с англ. В.Звонарёвой и Д.Белла; Под ред. Ю.Гайдука. — Изд. 2-е. — М.: Учпедгиз, 1961. — 207 с.: ил.

Пойа Д. Как решать задачу. — Львов: Журн. «Квантор», 1991. — 214 с.: ил.

Наконец появилось новое издание!

Пойя Д. Как решать задачу. — М.: Либроком, 2010. — 208 с.

Светлана Малая

См. также:

Таблица вопросов и советов из книги Д.Пойа «Как решать задачу»
Таблица Д.Пойа на английском языке